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Fachkonzept - Gleichheit von Termen

Orientierung

Zeichnung von George Boole[1]
Auf der vorangegangenen Seite wurden konkrete Schaltungen mithilfe ihrer Wahrheitstabellen verglichen. Man kann hierzu auch Rechengesetze nutzen; man spricht bei diesem Bereich der Mathematik dann von der Bool'schen Algebra. Es geht nun darum, die logische Gleichheit zweier Terme mithilfe von Rechengesetzen zu zeigen.

Die Bool'sche Algebra ist nicht nur für den Vergleich von Schaltungen relevant. Auch in der Programmierung hilft sie bei der Auswertung komplexer Bedingungen, wie in inf-schule am Beispiel von Python-Kara verdeutlicht wird. Insgesamt werden an ihr wichtige Parallelen zwischen der Umsetzung mithilfe von Software (in Programmen) und mithilfe von Hardware (in der Digitaltechnik) deutlich.

Die Bool'schen Ausdrücke sind nach dem Mathematiker George Boole benannt, der maßgeblich dazu beigetragen hat, die Logik (in Form der Aussagenlogik) in die Mathematik einzugliedern.

Rechengesetze der Boolschen Algebra

Eine Variable, welche nur die Werte WAHR und FALSCH annehmen kann, nennt man Boolsche Variable .

Für drei Boolsche Variablen a, b, c gelten die folgenden Rechengesetze:

  • Assoziativgesetze:
    • a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
    • a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
  • Kommutativgesetze:
    • a ∧ b = b ∧ a
    • a ∨ b = b ∨ a
  • Distributivgesetze:
    • a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
    • a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
  • Dualitätsgesetze:
    • 1 = 0
    • 0 = 1
  • Komplementgesetze:
    • a ∧ a = 0
    • a ∨ a = 1
    • (a) = a

Zu beachten ist, dass im Vergleich zur Mathematik zwei Distributivgesetze existieren. Weitere Rechengesetze zur boolschen Algebra findest du im Übungsteil.

Quellen

Suche

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12.2.4.3
dev.inf-schule.de/rechner/digitaltechnik/rechengesetze/FKgleicheTerme
dev.inf-schule.de/12.2.4.3

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