Station - Korrektheit und Sicherheit

Das Verfahren mit modularer Addition

Korrektheit des Verfahrens mit modularer Addition

Korrektheit bedeutet hier, dass das Entschlüsseln das Verschlüsseln wieder rückgängig macht.

Die Korrektheit des beschriebenen Verfahrens ist leicht einzusehen. Wir betrachten eine Codezahl x, die mit dem öffentlichen Schlüssel (e, n) verschlüsselt und anschließend mit dem privaten Schlüssel (d, n) entschlüsselt wird.

    x
    ↓                         # verschlüsseln
    [x + e]%n
    ↓                         # entschlüsseln
    [[x + e]%n + d]%n 
    = [x + [e + d]%n]% n       # Rechengesetze
    = [x + 0]%n                # Schlüsseleigenschaft
    = [x]%n                    # Rechengesetz
    = x                        # Schlüsseleigenschaft
   

Damit ist also gezeigt, dass das Verfahren korrekt ist, weil die Entschlüsselung das Verschlüsseln wieder rückgängig macht.

Neben Rechengesetzen haben wir hier die Eigenschaft der beiden Schlüssel ausgenutzt. Nämlich die Eigenschaft, dass die beiden Schlüssel e und d invers zueinander bzgl. der Modulzahl sind: e + d = n bzw. [e + d]%n = 0.

Sicherheit des Verfahrens mit modularer Addition

Das Verfahren mit modularer Addition ist völlig unsicher.

Aus dem öffentlichen Schüssel (e, n) kann man direkt den privaten Schlüssel (d, n) berechnen. Es gilt d = n - e.

Wenn man das Verschlüsselungsverfahren und den öffentlichen Schlüssel kennt, dann ist man direkt in der Lage, den privaten Schlüssel zu bestimmen und verschlüsselte Texte wieder zu entschlüsseln.

Aufgabe 1