Die Schlussregel modus ponens

Logisch, oder?

Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich.

Diese drei Sätze beinhalten einen logischen Schluss. Aus zwei wahren Aussagen wird eine weitere wahre Aussage logisch hergeleitet. Im Folgenden soll - in einem kurzen Exkurs in die formale Logik - geklärt werden, welche logischen Schlussregeln hierbei zum Tragen kommen. Diese Schlussregeln werden in den weiteren Abschnitten benötigt, um die Auswertung von Anfragen transparent zu machen.

Ein Exkurs in die Fußballwelt

Zwei Spieltage vor dem Saisonende sieht die Tabelle so aus:

Clemens erklärt seiner Tochter Hanna die Situation vor dem vorletzten Spiel: "Wenn Kaiserslautern das Spiel gewinnt, dann kann Kaiserslautern nicht mehr absteigen."

Kaiserslautern gewinnt (Gott sei Dank) das Spiel.

Welchen Schluss kann Hanna jetzt ziehen?

Fachkonzept modus ponens

Wie schließt man in der beschriebenen Fußballsituation?

Bei der Aussage "Wenn Kaiserslautern das Spiel gewinnt, dann kann Kaiserslautern nicht mehr absteigen." handelt es sich um eine wahre Wenn-Dann-Aussage (bzw. Implikation) der Gestalt α → β mit der Bedingung α: "Kaiserslautern gewinnt das Spiel" und der Folgerung β: "Kaiserslautern kann nicht absteigen".

Die Aussage "Kaiserslautern gewinnt das Spiel" bedeutet, dass die Bedingung α wahr ist.

Aus der wahren Wenn-Dann-Aussage α → β und der wahren Aussage α wird jetzt geschlossen, dass die Aussage β ebenfalls wahr sein muss.

Man verwendet hier ein Schließmuster, das den Namen "modus ponens" trägt.

Formal schreibt man das auch so:

α → β
α
=====
β

Diese Schlussregel kann weiter verallgemeinert werden.

Verallgemeinerung: Modus ponens mit mehreren Bedingungen

Wir betrachten noch einmal die durch die folgende Tabelle gegebene Fußballwelt:

Clemens erklärt seiner Tochter Hanna die Situation vor dem vorletzten Spiel jetzt so: "Wenn St. Pauli verliert und Wolfburg unentschieden spielt, dann kann Kaiserslautern nicht mehr absteigen."

Und tatsächlich tritt das Unerwartete ein: St. Pauli verliert das vorletzte Spiel und Wolfburg spielt nur uentschieden.

Hieraus lässt sich jetzt erschließen, dass Kaiserslautern nicht absteigen kann. Man benutzt dabei die folgende verallgemeinerte Version der Schlussregel modus ponens:

α1 ∧ ... ∧ αn -> β
α1
...
αn
================
β

Hier geht man von einer Wenn-Dann-Aussage mit mehreren, durch ein logisches Und (dargestellt mit dem Symbol ∧) verknüpften Bedingungen aus. Die Schlussregel besagt: Wenn die Wenn-Dann-Aussage wahr ist und alle Bedingungen dieser Aussage wahr sind, dann ist auch die Folgerung dieser Aussage wahr.

Aussagen mit Variablen

Der eingangs betrachtete logische Schluss kann mit den bisher betrachteten Schlussregeln noch nicht begründet werden. Wir analysieren den Schluss hierzu etwas genauer.

Alle Menschen sind sterblich.
Sokrates ist ein Mensch.
==============================
Sokrates ist sterblich.

Hier kommt eine Wenn-Dann-Aussage mit einer Variablen vor. Man erkennt das besser, wenn man die Situation wie folgt beschreibt:

Für alle X: Wenn X ein Mensch ist, dann ist X sterblich.
Sokrates ist ein Mensch.
============================================================
Sokrates ist sterblich.

Mit Hilfe von Prädikaten lässt sich der logische Schluss auch so darstellen:

Für alle X: mensch(X) -> sterblich(X).
mensch(sokrates).
========================================
sterblich(sokrates).

Der logische Schluss lässt sich in zwei Teilschlüsse aufteilen. Im ersten Schritt wird eine Allaussage spezialisiert, indem eine bestimmte Variablenbelegung betrachtet wird.

Für alle X: mensch(X) -> sterblich(X).
======================================== {X -> sokrates}
mensch(sokrates) -> sterblich(sokrates).

Im zweiten Schritt kann man jetzt die modus-ponens-Regel anwenden:

mensch(sokrates) -> sterblich(sokrates).
mensch(sokrates).
========================================
sterblich(sokrates).

Neben der Schlussregel modus ponens benötigt man hier also eine weitere Schlussregel zur Spezialisierung von Allaussagen.

Spezialisierung von Allaussagen

Allaussagen machen - wie der Name es sagt - Aussagen für alle (in dem Gegenstandsbereich erlaubten) Objekte. Die folgende Schlussregel besagt, dass man aus einer wahren Allaussage eine wahre Aussage erhält, wenn man sie nur für spezielle Objekte formuliert.

Für alle X1, ...,Xk: γ(X1, ...,Xk)
======================================== {X1 -> c1, ...,Xk -> ck}
γ(c1, ...,ck)

γ(X₁, ...,X_k) ist hier eine beliebige Aussage, in der die Variablen X₁, ...,X_k (unquantifiziert) vorkommen. c₁, ...,c_k bezeichnen Objekte des Gegenstandsbereichs.

Eine verallgemeinerte modus-ponens-Regel mit Variablen

Häufig (wie im Beispiel oben) tritt die Situation ein, dass man beide Schlussregeln - Regel zur Spezialisierung von Allaussagen und die modus-ponens-Regel - bei einer logischen Herleitung anwenden muss. Zur Vereinfachung von logischen Herleitungen ist es daher sinnvoll, aus den beiden Regeln eine zusätzliche logische Schlussregel zu formulieren. Es handelt sich dabei um die folgende verallgemeinerte modus-ponens-Regel.

α1(X1, ...,Xk) ∧ ... ∧ αn(X1, ...,Xk) -> β(X1, ...,Xk)
α1(c1, ...,ck)
...
αn(c1, ...,ck)
======================================== {X1 -> c1, ...,Xk -> ck}
β(c1, ...,ck)

Zur Vereinfachung der Schreibweise wurde der Zusatz "Für alle X₁, ...,X_k:" bei der Darstellung der Wenn-Dann-Aussage weggelassen. Diesen Zusatz kann man sich hier aber immer hinzudenken.

Beachte auch, dass c₁, ...,c_k nur so gewählt werden dürfen, dass sie Objekte des Gegenstandsbereichs beschreiben.

Als Spezialfall (nur eine Bedingung; nur eine Variable) ergibt sich hieraus die im Eingangsbeispiel benötigte verallgemeinerte modus-ponens-Schlussregel:

α(X) -> β(X)
α(c)
================ {X -> c}
β(c)

Aufgabe 1

Betrachte die beiden folgenden Aussagen:

Wenn eine Mannschaft nach dem vorletzten Spieltag mit mehr als 3 Punkten in Führung ist, dann gewinnt sie die Meisterschaft. Dortmund hat vor dem letzten Spieltag 5 Punkte Vorsprung vor der Konkurrenz.

Welchen Schluss kann man jetzt ziehen? Wie kann man ihn mit logischen Schlussregeln formal begründen?