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Übungen: Künstliche Neuronen und Digitale Schaltungen

Übungen

Auf der vorherigen Seite im Abschnitt „Grundlagen“ wurde ein künstliches Neuron mit zwei Eingängen betrachtet, dass der Einfachheit halber nur 0 und 1 trennt. Es gibt aber eine Vielzahl möglicher Belegungen (der Übersichtlichkeit halber ist die Tabelle in zwei Teile aufgeteilt):

x₁	x₂	\|	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7
0	0	\|	0	0	0	0	0	0	0
0	1	\|	0	0	0	1	1	1	1
1	0	\|	0	1	1	0	0	1	1
1	1	\|	1	0	1	0	1	0	1

x₁	x₂	\|	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15
0	0	\|	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	\|	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	\|	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	\|	0	1	0	1	0	1	0	1

Aufgabe 1: Analyse der Tabelle

Im Titel dieses Abschnitts ist von „Digitalen Schaltungen“ die Rede.
Erläutere, was die obige Tabelle damit zu tun hat.
Welche der Funktionen F0 bis F15 erfüllt das künstliche Neuron aus dem vorherigen Abschnitt "Einstieg: Trennlinie"?

Aufgabe 2: Funktion F1

Finde geeignete Gewichte und Schwellenwerte für die Funktion F1, indem du die Werte oben entsprechend änderst.
Zeichne unten die passende Trennlinie bzw. markiere unten alle Wertepaare bei denen dein Neuron feuert.
Beschreibe allgemein den Zusammenhang zwischen Gewichten und Schwellenwerten, um die Funktion zu erfüllen.
Bestimme die Schwellenwerte, für die du keine Gewichte mehr findest, um die Funktion zu erfüllen.
Versuche eine Erklärung zu finden, warum das bei diesen Schwellenwerten so ist.

Aufgabe 3: Funktion F7

Finde geeignete Gewichte und Schwellenwerte für die Funktion F7, indem du die Werte oben entsprechend änderst.
Zeichne unten die passende Trennlinie bzw. markiere unten alle Wertepaare bei denen dein Neuron feuert.
Beschreibe allgemein den Zusammenhang zwischen Gewichten und Schwellenwerten, um die Funktion zu erfüllen.
Bestimme die Schwellenwerte, für die du keine Gewichte mehr findest, um die Funktion zu erfüllen.
Versuche eine Erklärung zu finden, warum das bei diesen Schwellenwerten so ist.

Aufgabe 4: Funktion F11

Finde geeignete Gewichte und Schwellenwerte für die Funktion F11, indem du die Werte oben entsprechend änderst.
Zeichne unten die passende Trennlinie bzw. markiere unten alle Wertepaare bei denen dein Neuron feuert.
Beschreibe allgemein den Zusammenhang zwischen Gewichten und Schwellenwerten, um die Funktion zu erfüllen.
Bestimme die Schwellenwerte, für die du keine Gewichte mehr findest, um die Funktion zu erfüllen.
Versuche eine Erklärung zu finden, warum das bei diesen Schwellenwerten so ist.

Aufgabe 5: Weitere Lösungen?

Du hast bei den vorherigen Aufgaben jeweils eine Lösung gefunden? Finde nun jeweils auch noch eine weitere.
Verallgemeinere:
Wenn du eine Lösung für die Belegung der Gewichte und des Schwellenwerts hast:
Welche Belegungen müssen dann ebenfalls immer möglich sein?

Aufgabe 6: Weitere Funktionen

Finde geeignete Gewichte und Schwellenwerte für weitere Funktionen (außer F6 und F9).
Zeichne die passende Trennlinie.

Aufgabe 7: Ein erstes Netz

Es ist nicht möglich, die Funktionen F6 und F9 mit nur einem Neuron zu realisieren. Es werden vernetzte Neuronen benötigt.

Auf der rechten Seite sind zwei Varianten von mehrschichtigen Netzen zu sehen, die verwendet werden können, um F6 bzw. F9 aus der oben stehenden Tabelle zu realisieren.

In die Kreise (anstelle der abgerundeten großen Rechtecke) sind die Schwellenwerte einzutragen. An den Kanten (die Strecken zwischen den Quadraten und Kreisen) sind die Gewichte einzutragen.

Wenn du auf das Bild rechts klickst, wird es dir größer dargestellt.

Zeichne ein neuronales Netz für F6 mit passenden Schwellenwerten und Gewichten.
Zeichne ein neuronales Netz für F9 mit passenden Schwellenwerten und Gewichten.
Trage wie oben die 4 Punkte in einem Koordinatensystem - je nachdem, ob sie feuern oder nicht.
Beschreibe mit einem Satz, warum es für diese Situation keine Trennlinie geben kann.