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Addition von Punkten auf elliptischen Kurven

Definition: Addition von Punkten auf elliptischen Kurven

Zwei Punkte $P$ und $Q$ auf einer elliptischen Kurve werden addiert, indem sie zunächst durch eine Gerade verbunden werden. Diese Gerade schneidet die Kurve in genau einem dritten Punkt. Durch Spiegelung dieses Schnittpunktes an der x-Achse erhält man schließlich die Summe $R = P + Q$ .

Für den Fall, dass die Gerade vertikal ist, wird der Punkt $R = O := (\infty | \infty)$ als der virtuelle Punkt im Unendlichen definiert.

Aufgabe 1

Seien

P = (2, 2)

und

Q = (- 1, 4)

zwei Punkte auf der elliptischen Kurve

y^{2} = x^{3} - 7 x + 10

Bestimme den Punkt $R = P + Q$ .
Bestimme den Punkt $R = Q + P$ .
Bestimme den Punkt $- P$ .

Aufgabe 2

Seien

A = (2, 2)

B = (- 1, 4)

und

C = (2, 2)

Punkte auf der elliptischen Kurve

y^{2} = x^{3} - 7 x + 10

Bestimme den Punkt $R = (A + B) + C$ .
Bestimme den Punkt $R = (A + C) + B$ .
Bestimme den Punkt $R = A + (B + C)$ .

Aufgabe 3

Sei

P = (1 | 2)

ein Punkt auf der elliptischen Kurve

y^{2} = x^{3} - 7 x + 10

Berechne mit der obigen Anwendung die Summe $2 \cdot P := P + P$ .
Wie lässt sich diese Summe interpretieren?

Aufgabe 4

Seien

P, Q

und

R

drei Punkte auf der elliptischen Kurve

y^{2} = x^{3} - 7 x + 10

, die auf einer Geraden liegen.
Zeige, dass in diesem Fall die Summe

P + Q + R = O

gleich Null ist.

Addition von Punkten auf elliptischen Kurven

Definition: Addition von Punkten auf elliptischen Kurven

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

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