Gruppengesetze

Gruppengesetze

Die elliptischen Kurven bilden zusammen mit der Addition und dem virtuellen Punkt $O:=(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ eine sogenannte kommutative Gruppe. Das bedeutet, dass die Addition von Punkten auf einer elliptischen Kurve die folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. Abgeschlossenheit: Für alle Punkte $P,Q$ auf der Kurve ist auch $P+Q$ auf der Kurve.
2. Kommutativität: Für alle Punkte $P,Q$ auf der Kurve gilt: $P+Q=Q+P$.
3. Assoziativität: Für alle Punkte $P,Q,R$ auf der Kurve gilt: $(P+Q)+R=P+(Q+R)$.
4. Existenz eines neutralen Elements: Es gibt einen Punkt $O$, sodass für alle Punkte $P$ auf der Kurve gilt: $P+O=O+P=P$.
5. Existenz von inversen Elementen: Für jeden Punkt $P$ auf der Kurve gibt es einen Punkt $Q$, sodass $P+Q=Q+P=O$.

Zusammenfassung / Takeaway

Anmerkung zum mathematischen Hintergrund

Das Assoziativitätsgesetz haben wir uns lediglich an einigen Beispielen plausibel gemacht. Der Beweis des Assoziativitätsgesetzes ist alles andere als offensichtlich und gehört zur mathematischen Disziplin der Zahlentheorie. Genauer ist er eine Folgerung des sogenannten Noether-Theorems, das in der Schule aber nicht behandelt wird.