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Rechengesetze

Welche Rechengesetze gibt es?

Rechengesetze leitet man in der Bool'schen Algebra mit Tabellen her.

Du hast bereits eine wichtige Regel gefunden: not (a and b) = not a or not b. Dabei handelt es sich um eines der beiden Gesetze von De Morgan.

Gemälde von Augustus De Morgan[1]
Augustus De Morgan war ein bedeutender englischer Mathematiker. Er lebte zur gleichen Zeit wie George Boole und gilt mit diesem gemeinsam als Begründer der mathematischen Logik.

Interessant sind auch seine weiteren Vernetzungen zur Informatik: Ein Freund von De Morgan, Charles Babbage, hat mit der Analytical Engine einen Vorläufer zum modernen Computer entwickelt; dieser wurde zu seinen Lebzeiten aber nicht gebaut. Außerdem unterrichtete De Morgan die „erste Programmiererin der Welt“, Ada Lovelace, in Mathematik. Sie gilt als erste Person, die erkannt hat, dass man einen Computer (konkret die Analytical Engine) für mehr nutzen kann, als zur Berechnung von gesuchten Zahlen.

Aufgabe 1

Es gibt noch ein zweites Gesetz von De Morgan: not (a or b) = not a and not b.

(a) Beweise das zweite de-morgansche Gesetz mithilfe einer Tabelle.

(b) Versuche, die beiden Gesetze umgangssprachlich zu formulieren, um sie dir besser merken zu können. Was muss man tun, wenn vor der Klammer ein not steht? Siehst du einen Zusammenhang zu einer „Minusklammer“ ($-(...)$) in der Mathematik?

Aufgabe 2

Es gibt eine ganze Reihe weiterer Rechengesetze. Manche sind hier vollständig aufgeführt, bei manchen fehlt die Hälfte. Vervolständige die fehlenden Teile. Mache dir immer klar, dass die Regeln Sinn ergeben. Beweise manche Regeln mithilfe einer Tabelle. Überlege, ob du ähnliche Regeln in der „normalen Mathematik“ kennst.

  • a and True = ...
  • a or True = ...
  • a and False = ...
  • a or False = ...
  • not (not a)) = ...
  • a and (not a) = ...
  • a or (not a)) = ...
  • a and b = b and a
  • a or b = b or a
  • a and (b or c) = (a and b) or (a and c)
  • a or (b and c) = (a or b) and (a or c)

Quellen

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