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Vergleichen von Termen

Direkt mit den Termen arbeiten

Der Vergleich mithilfe von Tabellen wird manchmal anstrengend. Dafür gibt es bessere Methoden.

Mathematische Ausdrücke (Terme) wie $-1 \cdot (x + y)$ und $-x - y$ vergleichst du auch nicht, indem du Tabellen erstellst, in die du alle möglichen Werte für $x$ und $y$ einsetzt.

In der Bool'schen Algebra geht es um dieselbe Grundfrage. Die Terme unterscheiden sich nur insofern, dass wir or, not und and nutzen statt $+$, $-$ und $\cdot$. Außerdem können die Variablen bei uns nur zwei Werte annehmen; man nennt sie auch Bool'sche Variablen.

Beim Vergleichen von mathematischen Termen nutzt du Rechenregeln wie z.B. $-(x+y) = x - y$. Auch für die Bool'sche Algebra gibt es Rechenregeln. Eine Rechenregel hast du auf der Seite zuvor hergeleitet, nämlich not (a and b) = not a or not b.

Aufgabe 1

Erkläre, inwieweit du diese Regel gerade hergeleitet hast: Was müssen wir verändern, dass wir mit den Tabellen auf der vorangegangenen Seite die Regel not (a and b) = not a or not b erkennen?

Aufgabe 2

Wir klären die Frage, was uns diese Regel bringt. Dafür vergleichen wir nun weitere zwei Terme (s.u.)

(a) Wie viele Zeilen hätte eine Tabelle, mit der man die Terme vergleichen kann?

(b) Wende die hergeleitete Regel an, um zu zeigen, dass die beiden Terme logisch gleich sind.

Terme:

  • not (kara.treeLeft() and kara.treeRight()) or kara.onLeaf()
  • not kara.treeLeft() or not kara.treeRight() or kara.onLeaf()

Weitere Rechengesetze und Zusammenhang zur Mathematik

Es gibt noch viele weitere Rechengesetze der Bool'schen Algebra. Du musst sie nicht alle kennen lernen; wichtiger ist, dass du verstehst, wozu die Rechengesetze gut sind und wie du sie mit einer Tabelle beweisen kannst.

Oft gibt es Analogien zu den Rechengesetzen, die du aus der Mathematik kennst. Das liegt daran, dass die Bool'sche Algebra einfach Mathematik mit Wahrheitswerten ist. Die Wahrheitswerte sind ein Rechenbereich (ein sogenannter „Körper“), genau wie die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen, mit der Besonderheit, dass er nur aus zwei Werten besteht.

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