Erkundung: Schaltterme
Wozu Schaltterme?
Bei der Konstruktion eines Schaltnetzes stellt man häufig zunächst einen Schaltterm auf, der das Schaltnetz beschreibt. Anschließend konstruiert man ausgehend von dem Schaltterm das Schaltnetz. Der Schaltterm zu dem Multiplexer, den wir auf der Seite Erkundung: Schaltnetze kennengelernt haben, lautet $ (d_0 \wedge \bar s) \vee (d_1 \wedge s) $.
Mathematische Terme auswerten
Terme kennst du schon aus der Mathematik. Es sind Rechenausdrücke mit Variablen, z.B. $4\cdot x + 2\cdot y$. Wenn du die Werte der Variablen kennst, z.B. $x = 10$ und $y = 1$, kannst du sie einsetzen:
$$4\cdot x + 2\cdot y = 4\cdot 10 + 2\cdot 1 $$Nun hast du einen Rechenausdruck ohne Variablen. Jetzt wendet man elementare Rechengesetze an, um den Term auszuwerten:
$$4\cdot x + 2\cdot y = 4\cdot 10 + 2\cdot 1 = 40 + 2 = 42.$$Schaltterme auswerten und Rangfolge der Operatoren
Das Auswerten von Schalttermen funktioniert nach demselben Schema: Erst werden die bekannten Werte für die Schaltvariablen (man nennt das die Variablenbelegung) ein. Dann nutzt man elementare Rechengesetze. Diese stammen schlicht aus den bekannten Schalttabellen der logischen Verknüpfungen:
| a | b | $a \wedge b$ | $a \vee b$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| a | $\bar a$ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Beispiel: Auswertung des Terms $ (d_0 \wedge \bar s) \vee (d_1 \wedge s) $ für die Variablenbelegung $s=0; d_0=1; d_1=0$: $$ \begin{aligned} & (d_0 \wedge \bar s) \vee (d_1 \wedge s) \\ = & (1 \wedge \underbrace{\bar 0}_\text{1}) \vee (0 \wedge 0) \\ = & \underbrace{(1 \wedge 1)}_\text{1} \vee \underbrace{(0 \wedge 0)}_\text{0} \\ = & 1 \vee 0 \\ = & 1 \end{aligned} $$
Man muss dafür wissen, in welcher Reihenfolge die Operatoren ausgewertet werten. In der Mathematik gilt: Klammern vor Punkt vor Strich. Eine ähnliche Rangfolge der Operatoren gibt es auch für Schaltterme: Klammern vor not ($\bar{\phantom{a}}$) vor and ($\wedge$) vor or ($\vee$).
Schalttabellen ermitteln
Jeder Schaltterm berechnet eine Schalttabelle. Man kann dieser Tabelle ermitteln, indem man den Schaltterm für alle möglichen Belegungen den Variablen auswertet.
Aufgabe 1
- Werte den Schaltterm $ (d_0 \wedge \bar s) \vee (d_1 \wedge s) $ des Multiplexers für alle weiteren Variablenbelegung aus und ergänze die Schalttabelle. Gehe dabei wie im Beispiel (über der Aufgabe) vor.
| $s$ | $d_0$ | $d_1$ | Leitung |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 |
- Vergleiche die Schalttabelle aus (a) mit der Schalttabelle des Multiplexers (siehe Fachkonzept: Schaltnetze)
Aufgabe 2
-
Begründe an der Schaltung, dass die folgenden Schaltterme Sinn ergeben:
$D_0 = l \wedge \bar{s}$
$D_1 = l \wedge s$
- Stelle für die beiden Schaltterme aus a) jeweils die Schalttabelle auf.
- Prüfe im Simulator, ob das Schaltnetz tatsächlich die Schalttabellen in b) berechnet.
